# 01背包问题——动态规划

> 发布于：2022-02-22 | 分类：刷题 | 原文：https://www.imbailey.cn/post/01-knapsack-problem-dynamic-programming

> 题目来自：https://www.acwing.com/problem/search/1/?csrfmiddlewaretoken=UwJf7O4w1mYDi1yfimoQC3A85cwxyluK0ixh0ZlBDLqKKVOlEWEHJVbdE4OlzzVr&search_content=%E8%83%8C%E5%8C%85

有 NN 件物品和一个容量是 VV 的背包。每件物品只能使用一次。

第 ii 件物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

#### 输入格式

第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 NN 行，每行两个整数 vi,wivi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 件物品的体积和价值。

#### 输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

#### 数据范围

0<N,V≤10000<N,V≤1000
0<vi,wi≤10000<vi,wi≤1000

#### 输入样例

```
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
```

#### 输出样例：

```
8
```

| 难度：**简单**          |
| ----------------------- |
| 时/空限制：1s / 64MB    |
| 总通过数：95474         |
| 总尝试数：158804        |
| 来源：背包九讲 , 模板题 |
| 算法标签                |

------

#### 题解

```c++
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int v[MAXN];    // 体积
int w[MAXN];    // 价值 
int f[MAXN][MAXN];  // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值 

int main() 
{
    int n, m;   
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            //  当前背包容量装不进第i个物品，则价值等于前i-1个物品
            if(j < v[i]) 
                f[i][j] = f[i - 1][j];
            // 能装，需进行决策是否选择第i个物品
            else    
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }           

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

作者：深蓝
链接：https://www.acwing.com/solution/content/1374/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
```

#### 感想

01背包问题可以衍生出很多题目，是很重要的问题。

核心公式

```c++
// 状态转移方程
dp[i][k] = max(value[i] + dp[i-1][k-weight[i]], dp[i-1][k])
```

理解：

看这个博客讲的特别好https://www.cnblogs.com/kkbill/p/12081172.html



![状态转移方程](https://myblog-1257298572.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/mypic/img/%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%E6%96%B9%E7%A8%8B.jpeg)