# 完全背包问题——动态规划——这道题解是认真写的qwq

> 发布于：2022-02-23 | 分类：刷题 | 原文：https://www.imbailey.cn/post/complete-knapsack-problem-dynamic-programming

> 完全背包问题和01背包问题的区别就是完全背包问题不限制物体的数量。
>
> 题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/3/

有 NN 种物品和一个容量是 VV 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 ii 种物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

## 题目

#### 输入格式

第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 NN 行，每行两个整数 vi,wivi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 种物品的体积和价值。

#### 输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

#### 数据范围

0<N,V≤10000<N,V≤1000
0<vi,wi≤10000<vi,wi≤1000

#### 输入样例

```
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
```

#### 输出样例：

```
10
```

## 题解

> 参考作者：Charles__
> 链接：https://www.acwing.com/solution/content/5345/
> 来源：AcWing

在01背包问题中，有一段判断装不装该物品的代码：

```c++
for(int i = 1; i <= n; i++) 
  for(int j = 1; j <= m; j++)
  {
    //  当前背包容量装不进第i个物品，则价值等于前i-1个物品
    if(j < v[i]) 
      f[i][j] = f[i - 1][j];
    // 能装，需进行决策是否选择第i个物品
    else    
      f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
  }           
```

我们可以用一个0到1的k循环改写，k的物理意义是物品的数量：

```c++
for(int i=1;i<=n;i++){
  for(int j=1;j<=m;j++) {
    for(int k = 0 ; k*v[i]<=j&&k<=1 ; k++)
      f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
  }
}
```

当k=0时，`f[i][j] = f[i-1][j]`; 

当k=1时（k*v[i]<=j的约束条件保证背包可以装得下），

```
f[i][j]
=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i])
=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i])
````

这样我们就可以推广01背包问题到完全背包问题啦，完全背包问题的答案如下：

```c++
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }

    for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = 0 ; j<=m ;j++)
    {
        for(int k = 0 ; k*v[i]<=j ; k++)
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
    }

    cout<<f[n][m]<<endl;
}
```

but，这样写性能貌似不太行啊，还得优化：

大佬通过数学推导，把循环都给破解了，核心代码优化成这样：

```c++
for(int i = 1 ; i <=n ;i++)
for(int j = 0 ; j <=m ;j++)
{
    f[i][j] = f[i-1][j];
    if(j-v[i]>=0)
        f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}
```

后面还能继续优化！但是到这里这道题已经能ac了，我这个懒逼就不继续思考了。

最终代码：

```c++

#include <iostream>

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int v[MAXN];    // 体积
int w[MAXN];    // 价值
int f[MAXN][MAXN]; // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值

int main(){
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin >> v[i] >> w[i];
    }

    for(int i = 1 ; i <=n ;i++)
        for(int j = 0 ; j <=m ;j++)
        {
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if(j-v[i]>=0)
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
        }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}
```